Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 yx=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyascoordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.La posición del punto A será:La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada

COORDENADAS CILINDRICAS

El sistema de coordenadas cilíndricas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:*ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY*φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.*z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z). 1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

CILÍNDRICAS A RECTANGULARES

X = r cos 0, y = r sen 0, z = z

RECTANGULARES A CILÍNDRICAS
R2 =x2 + y2, tg 0 =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en silindricas:

Ejemplo 1:

Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).

Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = −2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (−2)( √ 3, 2, 2).

Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:

a) x2 + y2 =4z2

b) y2 = x

Solución a)

Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.

x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.

r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.

Solución b)

La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z.

Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:

y2 = x ecuación rectangular.

r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.

r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar
r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r
r =cos ө / sen2 ө despejar r
r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.

Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3:

Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas:
r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0

Solución:

r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas
r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0 identidad trigonometrica.

r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = −1
X2 – y2 +z2 = −1 sustituir r cos ө por x y r sen ө por y
Y2 – x2 – z2 = 1 ecuación rectangular.

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.